Aπό τα διαγράμματα Voronoi στην τριγωνοποίηση του Delaunay

Ν. Λυγερός

Τα διαγράμματα Voronoi δεν λύνουν μόνο προβλήματα γεωγραφίας και τοπολογίας. Όταν τα επινόησε ο Georgy Voronoy (1868 – 1908), ο οποίος ήταν μαθητής του Andrey Markov (1856 – 1922) αλλά και δάσκαλος των Delaunay (1890 -1980) και Sierpiński (1882 – 1969), δημιούργησε έναν ολόκληρο μαθηματικό πλαίσιο μέσω της υπολογιστικής γεωμετρίας.

Η ιδέα των διαγραμμάτων Voronoi είναι η δημιουργία νέων σημείων που διαφέρουν από τα αρχικά δεδομένα και δεν παρουσιάζονται με απλό τρόπο στον λύτη. Δημιουργούν μία νέα δομή, η οποία είναι αόρατη για τον μη ειδικό που εξετάζει τα αρχικά στοιχεία. Αυτή η έννοια είναι σημαντικότατη στα μαθηματικά κι όχι μόνο.

Στο γνωστικό επίπεδο, απελευθερώνει την σκέψη και την βάζει να λειτουργεί μη συμβατικά, για να λύσει ένα πρόβλημα φαινομενικά στατικό. Η συμβολή των διαγραμμάτων Voronoi είναι η εισαγωγή ενός δυναμικού πλαισίου, το οποίο διευκολύνει, όχι μόνο την επίλυση αλλά και την επινόηση νέας στρατηγικής.

Επιπλέον τα διαγράμματα Voronoi συσχετίζονται άμεσα με την τριγωνοποίηση που εφηύρε ο Delaunay το 1934. Πιο συγκεκριμένα, τα διαγράμματα Voronoi κι η τριγωνοποίηση Delaunay συνδυάζονται δυικά στην γενική περίπτωση. Το ενδιαφέρον είναι ότι πρακτικά τα διαγράμματα Voronoi δεν σχετίζονται με κύκλους αλλά με ευθύγραμμα τμήματα. Ενώ η τριγωνοποίηση του Delaunay ορίζεται αποκλειστικά μέσω κύκλων. Τα κέντρα των τριγώνων της τριγωνοποίησης, τα οποία δεν εμπεριέχουν κανένα αρχικό σημείο, αν τα ενώσουμε, θα βρούμε το διάγραμμα Voronoi. Γι’ αυτό το λόγο λέμε ότι λειτουργούν δυικά. Αυτό σημαίνει ότι στο πλαίσιο της εφαρμογής των διαγραμμάτων Voronoi, υπάρχει η δυνατότητα να εκμεταλλευτούμε και την τριγωνοποίηση του Delaunay, έτσι ώστε να χρησιμοποιήσουμε και τα τρίγωνα της, τα οποία μπορούν να εμπεριέχουν ή όχι τα διαγράμματα Voronoi.

Από τα διαγράμματα Voronoi στην τριγωνοποίηση του Delaunay υπάρχει ένα νοητικό σχήμα με πολλαπλές εφαρμογές και εκτός του χώρου των καθαρών μαθηματικών κι ειδικά στο χώρο της στρατηγικής μέσω της τοποστρατηγικής. Αυτό το νοητικό σχήμα λειτουργεί ως πολλαπλότητα για την γνωστικά προσέγγιση της νοητικής στρατηγικής.

lygeros.org