Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΟΔΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Μέχρι τις αρχές του 20ου αιώνα ο Πλάτων θεωρείτο ως μέγας φιλόσοφος, στον οποίο ωφείλετο η κοσμοθεωρία του ιδεαλισμού, σαν μέθοδος της φιλοσοφικής έρευνας για την αποσαφήνιση του αντικειμένου. Η λαμπρότης του φιλοσοφικού του έργου, έγινε αφορμή να μην εκτιμηθεί όσον έπρεπε η συμβολή του στην ανάπτυξη των μαθηματικών, και μέσω αυτών στις άλλες επιστήμες.
Μόλις κατά τις τελευταίες δεκαετίες, όταν και εμφανίστηκαν οι μαθηματικές θεωρίες των συνόλων και των τάξεων και την επέκταση των συζητήσεων των γνωσιολογικών προβλημάτων που θέτει η ταχύτατη εξέλιξη των επιστημών και ιδιαιτέρων των φυσικών, σχετικά με τις πρώτες αρχές των αριθμών, δόθηκε η αφορμή να μελετηθούν ενδελεχώς τα πλατωνικά κείμενα. Μέχρι τότε η επιστήμονες κατέφευγαν στις γνωστές ως πυθαγόρειες αριθμολογικές πραγματείες.

Οι νεότερες μελέτες έδειξαν ότι ο Πλάτων δεν ήταν απλά γνώστης της μαθηματικής επιστήμης της εποχής του, αλλά και ότι με τις κατευθύνσεις που έδιδε στους ερευνητές (κορυφαίους μαθηματικούς, όπως ο Ηρακλείδης, ο Εύδοξος, ο Ερμόδωρος, Θεαίτητος κ.α.) οι οποίοι συγκεντρώθηκαν στην ακαδημία που ίδρυσε το 386 π.κ.ε. συνετέλεσε να καθορισθή ο θεωρητικός χαρακτήρας της μαθηματικής επιστήμης και να υπερνικηθεί η οξύτατη κρίση που εμπόδιζε τους πρακτικούς μαθηματικούς (βλέπε «εφαρμοσμένα μαθηματικά) να προχωρήσουν σε νέες λαμπρές ανακαλύψεις. Με τον Πλάτωνα η αριθμητική έρευνα αποκτά την επίγνωση της θεωρητικής της αποστολής. Οι έννοιες του μεγάλου και του μικρού, μας παραδίδει ο Πλάτων στην Πολιτεία του, είναι τελείως συγκεχυμένες στην πρακτική αριθμητική (λογιστική). Διότι την ίδια ποσότητα η κοινή αντίληψη ενός απλού ανθρώπου την εννοεί και «μεγάλη» και «μικρή». Δηλαδή παραβάλλων τους εξ αστραγάλους προς τέσσαρας τους θεωρεί πολλούς και τους τέσσαρες προς δώδεκα ολίγους, ενώ προσθέτει ανόμοια ή άνισα πράγματα. Χρέος της θεώρησης της φύσεως των αριθμών όμως είναι να αντιληφθεί αυτούς δια της νοήσεως και να φθάσει εις τας «υποθέσεις», δηλαδή τις βάσεις και τα πρώτα θεμέλια τους, από όπου κατερχόμενη μεθοδικώς να δικαιολογήσει τις προτάσεις που θέλει να αποδείξει.

Με τον ίδιο τρόπο ο πρακτικός γεωμέτρης που ασχολείται με τα ορατά σχήματα, αν θέλει να γίνει επιστήμων πρέπει να τα εννοήσει σαν γραφικές απεικονίσεις ιδεωδών γεωμετρικών αντικειμένων. Την αστρονομική επιστήμη δεν την ενδιαφέρει η λαμπρή ποικιλία των ουρανίων σωμάτων, αλλά η εξακρίβωση και η αιτιολόγηση της τροχιάς και της ταχύτητάς τους. (Πλάτων Πολιτ. 529 D).
Από τους προ του Πλάτωνος μαθηματικούς, παρεδόθησαν πολλές επιστημονικές προτάσεις, αλλά αυτός με την επίγνωση της θεωρητικής φύσεως των αριθμών, επέτρεψε την διεύρυνση της έρευνας για νέες επιστημονικές κατακτήσεις.

Ο Πλάτων στην Ακαδημία από την θέση του διευθύνοντος είχε όπως είναι φυσικό σαν έργο του, να αναθέτει τα προβλήματα που ανέκυπταν στις εργασίες της, στους συνεργάτες του, με τελικό αποδέκτη τους αιτούντας παροχήν βοηθείας. Φυσικά είχε την ευθύνη της κατεύθυνσης και της επιστασίας του σχεδιασμού. Φαίνεται όμως ότι ποτέ δεν διεκδικεί για τον εαυτό του την δόξα, όπως κατά κανόνα συμβαίνει σε άλλους σχολάρχες ή επιχειρηματίες. Μόνον από την ενδελεχή μελέτη των έργων του κατά τις τελευταίες δεκαετίες, διαφαίνεται η συνεισφορά του.
Κατά την γνώμη εξ' άλλου του Πλάτωνα, όλες οι μαθηματικές αλήθειες, συγκρινόμενες με την οντολογική η οποία αποκαλύπτεται μόνον με την οντολογία της καθαρής φιλοσοφίας, την οποία αποκαλούσε διαλεκτική, είναι δευτέρας τάξεως. Έχουν μέσα τους κάτι το «υποθετικόν».

«Πολιτ.» 510 C «Ὑποθέμενοι τὸ τε περιττὸν καὶ τὸ
ἄρτιον καὶ τὰ σχήματα τῶν γωνιῶν τριτά εἴδη. Ταῦτα μὲν ὡς
εἰδότες ποιησάμενοι ὑποθέσεις αὐτὰ, οὐδένα λόγον οὔτε αὐτοῖς
οὔτε ἄλλοις ἀξιοῦσι περί τοῦτων διδόναι ὡς παντί φανερῶν».

Δηλαδή αφού λάβουν ως βάση (οι μαθηματικοί και οι γεωμέτρες) την έννοια του αρτίου και του περιττού και των σχημάτων και των τριών γωνιών, και τα παραδεχθούν σαν γνωστά και σαν θεμελιώδεις προϋποθέσεις, πιστεύουν ότι δεν αξίζει τον κόπο να τα αποδείξουν μιας και θεωρούν ότι είναι φανερά σε όλους.

Έτσι εξηγείται γιατί δεν ασχολήθηκε επισταμένα και ο ίδιος με τον πλουτισμό της μαθηματικής επιστήμης με νέες προτάσεις όπως συνηθίζουν οι μαθηματικοί.
Παρ όλα αυτά πρέπει να παραδεχθούμε ότι είχε επαρκή ικανότητα για τέτοιου είδους εργασίες. Η παράδοση αποδίδει στον Πλάτωνα και μαθηματικέ ανακαλύψεις:

Ο Ηρών αναφέρει ότι ο Πλάτων συνεπλήρωσε την λύσιν της αορίστου εξισώσεως χ.χ+ψ.ψ. =ω.ω. Παρουσίασεν ως πραγματοποιούντα την λύσινταύτην τον τύπον (ν∙ν-1) ∙ (ν∙ν-1) + (2ν∙2ν) = (ν∙ν+1 ) ∙ (ν∙ν+1 ), δια των οποίων επιτυγχάνεται η εύρεσις δύο τετραγώνων αριθμών των οποίων το άθροισμα αποτελεί αριθμόν τετράγωνον.

Πολυθρύλητο ζήτημα αποτελεί η επ' ονόματι του Πλάτωνος φερομένη λύσις του Δηλίου προβλήματος την οποίαν μάς διέσωσε ο σχολιαστής του Αρχιμήδους Ευτόκιος εις τα «Περί σφαίρας και κυλίνδρου» σχόλια του. Η εκτιθέμενη υπό του Ευτοκίου λύσις δεν επιτυγχάνεται δια του διαβήτου
και κανόνος άλλα χρειάζεται μηχανική κατασκευή η οποία θα χρησιμοποεί και περιστροφή και μετατόπιση. Η λύση αυτή δημιούργησε εις τους ιστορικούς της αρχαίας επιστήμης μέγα ζήτημα. Εις την προς τον βασιλέα Πτολεμαίο επιστολή του Ερατοσθένους δεν αναφέρεται ότι ανήκει εις τον Πλάτωνα.
Τουναντίον ο Πλούταρχος αφηγείται εις τον βίο Μαρκέλλου ότι ο Πλάτων απέκρουε τας υπό του Αρχύτου και του Μεναίχμου επινοηθείσας δια μηχανικών μέσων λύσεις του προβλήματος.
Επίσης Θέων ο Σμυρναίος όστις αντλεί από τον υπό του Ερατοσθένους γραφέντα διάλογον υπό τον τίτλον «Πλατωνικός» αναφέρει μεν την εις τους Δηλίους δοθείσαν υπό του Απόλλωνος προσταγήν, χωρίς να αναφέρει ότι ο Πλάτων παρουσίασε σχετική λύση. Επειδή όμως ο Ευτόκιος φαίνεται να είχε υπ' όψιν τον «Πλατωνικόν» του Ερατοσθένους, μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτός γνώριζε λύση σχετική με αυτήν του Πλάτωνος. Δεν είναι απίθανο ο Πλάτων να είχε καθορίσει μόνον τις θεωρητικές προϋποθέσεις νε τις οποίες θα ήταν δυνατόν να λυθεί το πρόβλημα επί τη βάσει των σχέσεων των πλευρών ορθογωνίων τριγώνων, όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως.

Ήταν δε φυσικό οι εργαζόμενοι στην Ακαδημία μαθηματικοί να προσπαθούν να εύρουν δια μηχανικών μέσων την λύσιν του προβλήματος. Το κύριο όμως ενδιαφέρον του Πλάτωνος επικεντρωνόταν εις
την διασαφήνση της μεθόδου την οποίαν ονόμαζε «ἐξ ὑποθέσεως
σκοπεῖσθαι», και την οποίαν ο ίδιος ομολογεί ότι είχε παραλάβει εκτων γεωμετρών.
Εις τον «Μένωνα» (86 Ε) μας παρέχει συγκεκριμένο
παράδειγμα του τρόπου κατά τον όποιον χρησιμοποιείται η μέθοδος αύτη
εις την γεωμετρίαν:

«Λέγω δὲ τὸ ἐξ ὑποθέσεως ὧδε, ὥσπερ οἱ γεωμὲτραι πολλάκις σκοποῦνται, ἐπειδᾶν τις ἔρηται αὐτοῦς,
οἷον περὶ χωρίου, εὶ οἷον τε ἐς τόνδε τὸν κύκλον τόδε τὸ χωρίον τρίγωνον ἐνταθῆναι, εἴποι ἄν τις ὅτι, οὔτω οἶδα εἰ ἔστιν τοὺτο τοιοῦτον, ἀλλʹ ὅσπερ μὲν τινα ὑπόθεσιν προὔργου οἶμαι ἐχειν πρὸς τὸ πρᾶγμα τοιάνδεʹ εἰ μὲν ὲστι τοῦτο τὸ χωρίον τοιοῦτον οἶον παρὰ τὴν δοθεῖσαν αὐτοῦ γραμμήν παρατείναντα
ἐλλείπειν τοιούτω χωρίῳ οἶον ἄν αὐτὸ τὰ παρατεταμένον ἧ, ἄλλο τι συμβαίνειν μοι δοκεῖ, καὶ ἄλλο αὖ, εἰ ἀδύνατον ἐστιν ταῦτα παθεῖν. Ὑποθέμενος οὖν θέλω εἰπεῖν σοι τὸ συμβαίνον περί τῆς ἐντάσεως αὐτοῦ εἰς τὸν κύκλον, εἴτε ἀδύνατον εἴτε μὴ»

Ο Πρόκλος εις τα σχόλια του εις τον Ευκλείδην μας διαβεβαιώνει περί τούτου γράφων:
«Μέθοδοι δʹ ὅμως παραδίδονται καλλίστη μέν ἡ διά τῆς ἀναλύσεως ἐπʹ ἀρχήν ὀμολογουμὲνην ἀνάγουσα
τὸ ζητούμενον, ἡν καὶ ὁ Πλάτων, ὡς φασίν, Λεωδάμαντι παραδέδωκεν, ἀφ, ἧς καὶ ἐκεῖνος πολλῶν κατά γεωμετρίαν εὑρετής ἱστόρηται γενέσθαι».

(Εκ των παραδεδομένων μεθόδων η καλλίστη είναι η αναλυτική, η όποια ανέρχεται από την αποδεικτέαν πρότασιν εις μιαν παραδεδεγμένην ήδη αρχήν. Αυτήν, όπως λέγει η παράδοσις, την εδίδαξεν ο Πλάτων εις τον Λεωδάμαντα, ταύτην δε χρησιμοποιών και εκείνος (δηλαδή ο Λεωδάμας) επραγματοποίησε
πολλάς γεωμετρικός ανακαλύψεις).

Εις τον Πλάτωνα ακόμη ανήκει η τιμή ότι διέγνωσε την παιδαγωγική αξία της μαθηματικής μεθοδολογίας και της εν γένει ενασχολήσεως με τα μαθηματικά. Τα θεωρούσε ως γενικό προπαιδευτικό μάθημα, το οποίο ασκεί την σκέψη και την καθιστά ικανή να επιλαμβάνεται της εξετάσεως παντοειδών προβλημάτων. Δια πρώτη φοράν διαπιστώνεται ότι η ασχολία με τα μαθηματικά προάγει την
«ειδεολογικήν μόρφωσιν», οξύνει δηλαδή το πνεύμα και το καθιστά ικανό να επιλύει δύσκολα προβλήματα οιασδήποτε φύσεως. Δια τούτο εις την είσοδο της Ακαδημίας είχε γραφή το ρητόν: «Μηδεὶς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω».

Παλαιότερα, και όταν ακόμη οι πλατωνικές μελέτες δεν ήταν επαρκείς ήταν πολύ διαδεδομένη η αντίληψη ότι ο Πλάτων ασχολείτο μόνον με λογικά προβλήματα ακολουθώντας κατ' αρχάς το παράδειγμα του διδασκάλου Σωκράτους.
Επιστεύετο δε ότι με τα μαθηματικά ασχολήθηκε πολύ αργότερα όταν μετά τα ταξίδια του στην Αίγυπτο και την Κάτω Ιταλία ήλθε σε επικοινωνία με τους Πυθαγόρειους.
Αλλά η προσεκτική εξέταση των διαλόγων της νεανικής του εποχής απέδειξε ότι η κλίση και η ασχολία του Αθηναίου σοφού για την επιστήμη των αριθμών χρονολογείται από την νεανική του εποχή.
Εις τον «Ίππίαν τον μείζονα», ο οποίος εγράφη πριν το πρώτο ταξίδι του, γίνεται λόγος περί ασυμμέτρων μεγεθών. Επίσης εις τον «Πρωταγόραν» φαίνεται το έντονο ενδιαφέρον του νεαρού τότε Πλάτωνα για τα μαθηματικά.
Η χρησιμοποίση της δι' υποθέσεων διερευνήσεως φιλοσοφικών προβλημάτων εμφανίζεται και εις τον
διάλογο της νεανικής του εποχής «Χαρμίδην» όπου και απαντώνται οι όροι «υπόθεσις» και «συμβαίνον» (δηλαδή αποτέλεσμα). Πλατ. Χαρμ. 160 D. 163 Α, 164 C, 175 Β).
Αι Αθήναι ήδη από του μέσου του 5ου αιώνος είχαν καταστεί κέντρο πνευματικόν εις το οποίον καλλιεργούντο οι μαθηματικές επιστήμες. Οι πληροφορίες οι οποίες φέρουν τον Πλάτωνα ως
μυηθέντα εις τα μαθηματικά υπό των Πυθαγορείων, επλάσθησαν μάλλον σε νεότερες εποχές
ετέθησαν στην κυκλοφορία κυρίως υπό των νεοπυθαγορείων.

Πηγή: ηλ.τα.
Πύλη Ιάσωνος